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Prepa en Línea SEP

Módulo 18 Semana 3 … Malthus

Grupo: M18C4G5-063

Facilitador: OSCAR GARCIA SERRANO

Alumno: Miguel Angel Martínez Zarco

Fecha: Julio de 2017

Mamá, me hubiera encantado que estuvieras al final de mi proyecto… Este, término de mi preparatoria va por ti!!!

Thomas Robert Malthus fue el primer economista en proponer una teoría sistemática de la población. Plasmó sus puntos de vista con relación a la población en su famoso libro Essay on the Principle of Population (1798)

Propone el principio de que las poblaciones humanas crecen exponencialmente (es decir, se duplican con cada ciclo) mientras que la producción de alimentos crece a una razón aritmética (es decir, mediante la adición repetida de un incremento uniforme en cada intervalo de tiempo uniforme)

Malthus sugirió que existía la posibilidad de que la población aumentara a 256 000 millones en el lapso de 200 años, pero que los medios de subsistencia solo podían aumentar lo suficiente para alimentar a 9000 millones en el nivel prevaleciente al comienzo del período. Por consiguiente, consideró que el aumento de la población debía mantenerse en un nivel bajo en el que pudiera sostenerse mediante diversos controles del crecimiento demográfico, que categorizaba como controles "preventivos" y controles "positivos".

1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

dP = kP (t) dt

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

dy = kydt

Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su antiderivada.

2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración

Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

y=Ce^kt Modelo de Malthus para una población.

N = población

N(t) = Se pretende ver como varia la población en función del tiempo= t

¿Cómo varia N al variar t?

dN/dt = KN (La variación de la población con respecto a la variación del tiempo o se puede interpretar también como la derivada de N con respecto a la derivada de t es igual a K veces la población que se tenía.

dN= KN dt Pasa dividiendo

Ecuación diferencial de variables separables ya que de un lado esta

todo lo que tiene todo N y del otro lado está todo lo que tiene t.

1/N dN= KdT

S1/NdN = SKdt

Logaritmo natural de N = Kt +C

e a la logaritmo natural de N = e^{Kt + C}

N= e^Kt * e^C

N= Ce^Kt

N(t) = Ce^Kt

Y= CeKt

Donde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población.

3. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

N₀es la población inicial, es decir la población cuando el tiempo es cero (t= 0)

N₀ =350