SECUENCIAS NUMÉRICAS. (ARITMÉTICAS)

 

En nuestra vida cotidiana nos encontramos con secuencias que son una serie de elementos que se repiten a través de un tiempo determinado. 

Por lo que si reflexionamos, cuando nos levantamos realizamos una rutina, que es un conjunto de secuencias en la elaboración de tareas que, por si fuera poco, conllevan un orden específico, ya que, si bien es cierto que uno puede meterse a la ducha con la pijama puesta, no es algo recomendable, puesto que esto impide que podamos practicar un aseo correcto. 

De esta manera se pueden ir construyendo nuestras actividades diarias, siempre considerando un orden.

Para que puedas identificar fácilmente los tipos de secuencias y así desarrollar una de las habilidades que conforman el pensamiento lógico-analítico, comenzaremos mostrando una secuencia numérica bastante sencilla, explicando posteriormente cómo se conforma:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

La secuencia es conocida como secuencia aritmética, ya que su incremento es constante (en el ejemplo anterior es una unidad a la vez), y para saber cuál es la lógica en la que se presenta, basta con analizar el incremento que tiene. 

Por ejemplo, si tomamos el caso anterior y lo analizamos, podemos observar que si al número anterior le sumamos una unidad, nos da como resultado el número siguiente. 

Siguiendo este planteamiento veamos algunos ejemplos:

                      EJEMPLO 1 

Encontrar los valores que se solicitan en la siguiente secuencia numérica:

502, ___, 506, 508, 510, ___, ___, 516, 518…

Como se muestra en el botón para ingresar al presente ejemplo, observa primero e identifica dónde hay dos o más números consecutivos; el incremento se da en dos unidades, por lo que si sumamos dos al primer número encontraremos el número faltante en la segunda casilla, el cual es 504, y si seguimos esta lógica, encontraremos el siguiente número que ya está dado, que es 506; después el siguiente, que es 508. Por lo tanto, la respuesta quedaría representada de la siguiente manera:

502, 504, 506, 508, 510, 512, 514,516, 518, 520…

Resulta fácil identificar la secuencia, puesto que los datos que se quieren identificar son muy cercanos. 

Pero...

¿Qué pasa cuando esto no sucede de esta manera y se requiere encontrar un dato mayor? 

Por ejemplo, el número que se encuentre en la posición 25; sin duda alguna, realizar esta actividad de manera manual resultaría tedioso, por lo que se puede simplificar utilizando las siguientes fórmulas, mismas que sirven tanto para encontrar un número en una posición de una sucesión corta, como larga:

d = an+1 - an 

an = a1 + (n - 1) d 

Donde d representa la diferencia entre dos términos conocidos y consecutivos, a1representa el término que se quiere encontrar, representa el primer término conocido y n vuelve a representar el término que se quiere conocer. 

Así, considerando la serie anterior…

502, 504, 506, 508, 510, 512, 514,516, 518, 520…

Si se desea conocer el número que ocupa la posición 25, aplicaríamos la fórmula propuesta, identificando primero los datos requeridos.

Identificamos la diferencia que hay entre un número y otro; en este caso sabemos que la diferencia entre un número y otro de la secuencia es 2.

Identificamos el primer número de la serie; en este caso es 502, si ya no requerimos más datos.Sustituimos los valores en la fórmula:

a25 = 502 + (25 - 1) 2Resolviendo correctamente se tiene lo siguiente:

a25 = 502 + (24) 2

a25 = 502 + 48

a25 = 550

Por lo que el número que ocupa la posición 25 en la serie equivale a 550. Así concluye esta secuencia y este ejemplo.

Te diste cuenta cómo es fácil; sólo es identificar los datos que requieres para aplicar la fórmula. Seguramente tu pensamiento lógico y analítico está en marcha.

                      EJEMPLO 2 

Ahora aumentemos la complejidad; recuerda realizar los mismos pasos del ejemplo anterior. Encuentra los valores que se solicitan en la siguiente secuencia numérica:

895, 940, 985, ___, ___, 1120, 1165, ___, 1255, ___, ___…

Observa la serie que se presenta. Puedes encontrar los números faltantes o aplicar la fórmula. Cualquiera de las dos opciones es correcta.

Identificamos la diferencia entre un número y otro. Lo has logrado; efectivamente es de 45.¿Has encontrado los números? ¿La serie quedó así? ¡Perfecto!895, 940, 985, 1030, 1075, 1120, 1165, 1210, 1255, 1300, 1345…

Así pues, si deseamos ocupar la fórmula empleada en el ejemplo anterior, para comprobar que el término 1030 es correcto apliquemos nuestra fórmula.

Identificamos la diferencia entre un número y otro. Sabemos que la diferencia entre un número y otro de la secuencia es de 45, que la serie inicia con el número 895 y que 1030 se encuentra en la cuarta posición, por lo que sustituyendo los valores en la fórmula tendríamos lo siguiente:

a4 = 895 + (4 - 1) 45

Resolviendo correctamente se tiene:

a4 = 895 + (3) 45

a4 = 895 + 135

a4 = 1030

Por lo que el 1030 efectivamente se encuentra en la cuarta posición.

Como te has dado cuenta, la fórmula se aplica de cualquier forma; sólo hay que decidir cuál es la manera más rápida de obtener la serie.

EJEMPLO 3

Encontrar los valores que se solicitan en la siguiente secuencia numérica:

1, ___, 209, 313, ___, ___, ___, 729…

Observa la serie.

Identificamos la diferencia entre un número y otro. La diferencia es de 104 unidades, por lo que si sumamos 104 al primer número encontraremos el número que hace falta en la segunda casilla, el cual es 105, y si seguimos esta lógica encontraremos el siguiente número que ya está dado, que es 209, después el siguiente, que es 313. Si así seguimos podremos darnos cuenta de que los números que completan la secuencia son 104, 417, 521 y 625, por lo que la respuesta quedaría representada de la siguiente manera:

1, 104, 209, 313, 417, 521, 625, 729…

Pero si aumentamos la complejidad, ahora vamos a encontrar el número que se encuentra en la posición 120.

¡Vamos, lo puedes lograr! Acuérdate de la fórmula.

Sabemos que la diferencia entre un número y otro de la secuencia es de 104, la serie inicia con el número 1 y que queremos encontrar el número que se ubica en la posición 120, por lo que sustituyendo los valores en la fórmula tendríamos lo siguiente:

a120 = 1 + (120 - 1) 104 

Resolviendo correctamente se tiene:

a120 = 1 + (119) 104

a120 = 1 + 12376

a120 = 12377 

Por lo que el 12 377 ocuparía la posición 120 en la secuencia mostrada. Así concluye este ejemplo.